Curso Cálculo

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Módulo 1: Funciones: dominio e imagenMódulo 2: Operaciones de funcionesMódulo 3: Inyectiva, sobreyectiva, biyectiva, par, impar e inversaMódulo 4: Función valor absolutoMódulo 5: Rectas: coincidentes, paralelas y perpendicularesMódulo 6: Funciones lineales y cuadráticasMódulo 7: HipérboleMódulo 8: ParábolaMódulo 9: Funciones exponenciales y logarítmicasMódulo 10: TrigonometríaMódulo 11: Funciones trigonométricasMódulo 12: LímitesMódulo 13: Derivadas por definiciónMódulo 14: Reglas de derivaciónMódulo 15: Introducción a integralesMódulo 16: Integrales

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📖 Teoría

• Una función asigna a cada valor de x un único valor de y.
• Dominio: valores permitidos de x.
• Imagen: valores que toma y.
• Restricciones: denominador distinto de cero, raíz par con radicando mayor o igual a cero, logaritmo con argumento mayor que cero.

✍ Ejemplos

• f(x)=1/(x−2) tiene dominio ℝ−{2}.
• f(x)=√(x+3) tiene dominio [−3,+∞).

🧠 Práctica / examen rápido

1) El dominio de f(x)=1/(x−5) es:

ℝ ℝ−{5} [5,+∞) ℝ−{0}

2) El dominio de f(x)=√(x−4) es:

ℝ x≤4 [4,+∞) ℝ−{4}

3) La imagen de f(x)=x² es:

ℝ [0,+∞) (0,+∞) ℝ−{0}

4) Para hallar dominio revisamos:

solo raíces solo gráficos restricciones de la fórmula solo el eje y

5) En una función, a cada x le corresponde:

un único y dos y siempre infinitos y siempre ningún y

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📖 Teoría

• Se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir y componer funciones.
• En una división hay que cuidar que el denominador no sea cero.
• En f(g(x)) primero se calcula g(x) y luego se reemplaza en f.

✍ Ejemplos

• Si f=x+1 y g=x², entonces f+g=x²+x+1.
• Si f=2x y g=x−3, entonces f(g(x))=2x−6.

🧠 Práctica / examen rápido

1) Si f(x)=x+1 y g(x)=x², (f+g)(x) es:

x²+x+1 x³+1 x²−x−1 x²+x

2) Si f(x)=2x y g(x)=x−3, (f∘g)(x) es:

2x−3 2x−6 x−1 2x+3

3) En (f/g)(x), hay que excluir valores donde:

f(x)=0 g(x)=0 x=0 siempre f(x)=g(x)

4) Si f(x)=x² y g(x)=3x, (f·g)(x) es:

3x³ 3x² x²+3x x⁵

5) La composición f(g(x)) significa:

sumar f y g multiplicar f por g reemplazar g(x) dentro de f dividir f por g

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📖 Teoría

• Inyectiva: no repite valores de y.
• Sobreyectiva: cubre todo el codominio.
• Biyectiva: es inyectiva y sobreyectiva.
• Par: f(−x)=f(x). Impar: f(−x)=−f(x).
• La inversa se halla intercambiando x e y y despejando.

✍ Ejemplos

• x² es par.
• x³ es impar.
• Si f(x)=2x+3, f⁻¹(x)=(x−3)/2.

🧠 Práctica / examen rápido

1) Una función biyectiva es:

solo par inyectiva y sobreyectiva solo creciente solo impar

2) f(x)=x² es:

impar par ni par ni impar sobreyectiva en ℝ→ℝ

3) f(x)=x³ es:

par impar constante valor absoluto

4) Para hallar la inversa se debe:

derivar integrar intercambiar x e y y despejar factorizar siempre

5) Una función inyectiva:

repite siempre valores de y no repite valores de y no tiene dominio no tiene imagen

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📖 Teoría

• El valor absoluto representa distancia al cero.
• |x| siempre es positivo o cero.
• La gráfica tiene forma de V.
• En y=a|x−h|+k, el vértice es (h,k).

✍ Ejemplos

• y=|x−2|+3 tiene vértice (2,3).
• |x−5|=2 da x=7 o x=3.

🧠 Práctica / examen rápido

1) La gráfica de y=|x| tiene forma de:

recta V parábola redonda hipérbola

2) |−8| vale:

−8 0 8 1/8

3) El vértice de y=|x−4|+1 es:

(4,1) (-4,1) (1,4) (0,1)

4) La ecuación |x−3|=5 tiene soluciones:

8 y −2 3 y 5 5 y −5 solo 8

5) El valor absoluto siempre es:

negativo positivo o cero menor que cero igual a x²

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📖 Teoría

• y=mx+b es la forma pendiente-ordenada.
• m es pendiente y b es ordenada al origen.
• Paralelas: misma pendiente.
• Perpendiculares: producto de pendientes igual a −1.
• Coincidentes: son la misma recta.

✍ Ejemplos

• y=2x+1 e y=2x−3 son paralelas.
• y=3x+2 y 2y=6x+4 son coincidentes.

🧠 Práctica / examen rápido

1) Dos rectas paralelas tienen:

pendientes iguales pendientes opuestas siempre producto −1 ordenada igual siempre

2) Si m₁=2, una pendiente perpendicular es:

2 −2 −1/2 1/2

3) y=4x+1 e y=4x−7 son:

perpendiculares paralelas coincidentes curvas

4) y=2x+3 y 2y=4x+6 son:

paralelas distintas coincidentes perpendiculares sin relación

5) En y=−3x+5, la pendiente es:

5 −3 3 −5

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📖 Teoría

• Lineal: y=mx+b.
• Cuadrática: y=ax²+bx+c.
• La cuadrática grafica una parábola.
• Si a>0 abre hacia arriba. Si a<0 abre hacia abajo.
• Vértice: xᵥ=−b/(2a).

✍ Ejemplos

• f(x)=3x−1 tiene pendiente 3.
• f(x)=x²−4x+3 tiene vértice (2,−1).

🧠 Práctica / examen rápido

1) La función y=mx+b es:

cuadrática lineal exponencial logarítmica

2) La gráfica de una cuadrática es:

recta parábola circunferencia punto

3) Si a<0 en ax²+bx+c, la parábola:

abre hacia arriba abre hacia abajo es recta no existe

4) En f(x)=2x+7, la pendiente es:

2 7 9 −2

5) La fórmula xᵥ=−b/(2a) sirve para hallar:

pendiente vértice dominio asíntota

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📖 Teoría

• La hipérbole es una cónica con dos ramas.
• Tiene centro, vértices, focos y asíntotas.
• c²=a²+b².
• Las asíntotas guían el comportamiento de la gráfica.

✍ Ejemplos

• (x−1)²/9 − (y+2)²/4=1 tiene centro (1,−2).
• Si a=3 y b=2, entonces c=√13.

🧠 Práctica / examen rápido

1) La hipérbole tiene:

una rama dos ramas tres ramas ninguna rama

2) En (x−h)²/a² − (y−k)²/b²=1, el centro es:

(a,b) (h,k) (0,0) siempre (c,k)

3) Para la hipérbole, c² es:

a²−b² a²+b² a+b ab

4) Las asíntotas sirven para:

cortar siempre la curva guiar las ramas hallar solo el dominio eliminar el centro

5) Si el término positivo es el de x, la hipérbole es:

horizontal vertical circular lineal

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📖 Teoría

• La parábola es el conjunto de puntos equidistantes de un foco y una directriz.
• Forma vertical: (x−h)²=4p(y−k).
• Forma horizontal: (y−k)²=4p(x−h).
• El vértice es (h,k).

✍ Ejemplos

• (x−2)²=8(y+1): p=2, vértice (2,−1), foco (2,1), directriz y=−3.

🧠 Práctica / examen rápido

1) En (x−h)²=4p(y−k), el vértice es:

(p,k) (h,k) (0,0) siempre (4p,k)

2) La directriz es:

un punto una recta una parábola un número

3) Si 4p=12, entonces p vale:

12 4 3 48

4) El eje focal pasa por:

vértice y foco solo directriz solo eje x ningún punto

5) La parábola se define por distancia a:

dos focos foco y directriz dos rectas centro y radio

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📖 Teoría

• Exponencial: bˣ con b>0 y b≠1.
• Si b>1 crece. Si 0<b<1 decrece.
• El logaritmo es la función inversa de la exponencial.
• log_b(x)=y significa bʸ=x.

✍ Ejemplos

• 2³=8 equivale a log₂(8)=3.
• 3²=9 equivale a log₃(9)=2.

🧠 Práctica / examen rápido

1) log₂(8) vale:

2 3 4 8

2) El dominio de log(x) es:

ℝ x>0 x≥0 x<0

3) Si b>1, bˣ es:

decreciente creciente constante par siempre

4) La logarítmica es inversa de la:

lineal cuadrática exponencial trigonométrica

5) 3²=9 equivale a:

log₃(9)=2 log₂(9)=3 log₉(3)=2 log₃(2)=9

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📖 Teoría

• sen=opuesto/hipotenusa.
• cos=adyacente/hipotenusa.
• tan=opuesto/adyacente.
• sen²(x)+cos²(x)=1.

✍ Ejemplos

• Si opuesto=3 e hipotenusa=5, sen=3/5.
• Si sen=3/5 y cos=4/5, tan=3/4.

🧠 Práctica / examen rápido

1) sen(α) es:

adyacente/hipotenusa opuesto/hipotenusa opuesto/adyacente hipotenusa/opuesto

2) cos(α) es:

adyacente/hipotenusa opuesto/hipotenusa opuesto/adyacente hipotenusa/adyacente

3) tan(α) es:

opuesto/adyacente adyacente/opuesto hipotenusa/opuesto opuesto/hipotenusa

4) sen²(x)+cos²(x) vale:

0 1 x tan(x)

5) La hipotenusa es:

el lado menor el lado opuesto al ángulo recto cualquier lado siempre vertical

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📖 Teoría

• sen y cos tienen período 2π.
• tan tiene período π.
• La amplitud de a·sen(x) o a·cos(x) es |a|.
• Son funciones periódicas.

✍ Ejemplos

• y=2sen(x) tiene amplitud 2.
• y=cos(x)+3 se desplaza 3 hacia arriba.

🧠 Práctica / examen rápido

1) El período de sen(x) es:

π 2π 1 π/2

2) El período de tan(x) es:

2π π 4π 0

3) La amplitud de y=5cos(x) es:

5 −5 1 2π

4) y=sen(x)+4 se desplaza:

4 a la derecha 4 hacia arriba 4 hacia abajo no se desplaza

5) sen(x) y cos(x) son funciones:

periódicas lineales constantes sin dominio

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📖 Teoría

• El límite estudia a qué valor se acerca una función.
• Primero se intenta sustitución directa.
• Si aparece 0/0, se transforma la expresión.
• El límite existe si coinciden los laterales.

✍ Ejemplos

• lim x→2 (x+5)=7.
• lim x→3 (x²−9)/(x−3)=6.

🧠 Práctica / examen rápido

1) lim x→2 (x+5) vale:

5 7 2 0

2) La forma 0/0 indica:

resultado final indeterminación no se puede hacer nada siempre infinito

3) Para resolver 0/0 se puede:

factorizar borrar el ejercicio poner 0 derivar siempre

4) Para que exista un límite bilateral, los laterales deben:

ser distintos coincidir ser negativos ser cero

5) lim x→1 x² vale:

1 2 0 no existe

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📖 Teoría

• La derivada mide cambio instantáneo.
• f'(x)=lim h→0 [f(x+h)−f(x)]/h.
• Geométricamente es la pendiente de la tangente.

✍ Ejemplos

• Para f(x)=x², usando definición se obtiene f'(x)=2x.

🧠 Práctica / examen rápido

1) La derivada representa:

área pendiente instantánea volumen promedio final

2) La definición usa un límite cuando h tiende a:

1 ∞ 0 −1

3) Para f(x)=x², f'(x) es:

x 2x x² 2

4) La recta tangente se relaciona con:

derivada integral logaritmo solamente dominio

5) En [f(x+h)−f(x)]/h, h representa:

un incremento pequeño un exponente una raíz un ángulo fijo

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📖 Teoría

• Potencia: (xⁿ)'=n·xⁿ⁻¹.
• Constante: derivada cero.
• Suma y resta: término a término.
• Producto, cociente y cadena son reglas fundamentales.

✍ Ejemplos

• (3x⁴−2x+7)'=12x³−2.
• [(x²+1)⁵]'=5(x²+1)⁴·2x.

🧠 Práctica / examen rápido

1) La derivada de x⁵ es:

5x⁴ x⁴ 5x⁵ x⁶/6

2) La derivada de 7 es:

7 1 0 x

3) La derivada de 3x² es:

3x 6x x³ 6x²

4) La regla de la cadena se usa en:

funciones compuestas sumas simples constantes solo rectas

5) La derivada de x es:

0 1 x 2x

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📖 Teoría

• Integrar es el proceso inverso de derivar.
• Una primitiva F cumple F'=f.
• ∫f(x)dx=F(x)+C.
• La constante C representa todas las primitivas.

✍ Ejemplos

• ∫2x dx=x²+C.
• ∫3 dx=3x+C.

🧠 Práctica / examen rápido

1) Integrar es el proceso inverso de:

sumar derivar factorizar graficar

2) En una integral indefinida se agrega:

+C +x siempre +0 +π

3) ∫2x dx es:

2 x²+C 2x²+C x+C

4) Una primitiva F de f cumple:

F'=f F=f' F=0 F=f²

5) La integral indefinida da:

un número único una familia de funciones solo área solo pendiente

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📖 Teoría

• ∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C.
• Una integral definida da un número.
• ∫ₐᵇ f(x)dx=F(b)−F(a).
• Puede representar área bajo la curva.

✍ Ejemplos

• ∫x² dx=x³/3+C.
• ∫₀² 3x² dx=8.

🧠 Práctica / examen rápido

1) ∫x² dx es:

2x+C x³/3+C x²/2+C x³+C

2) Una integral definida da:

una función con C un número siempre infinito una pendiente

3) ∫₀² 3x² dx vale:

6 8 12 0

4) La integral puede representar:

área bajo la curva solo vértice solo asíntota solo dominio

5) En ∫xⁿ dx, el exponente:

baja 1 sube 1 se hace 0 no cambia nunca

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