Guía completa de trigonometría paso a paso: fórmulas, triángulos rectángulos, ley de senos, ley de cosenos y ejercicios resueltos para estudiar mejor.

Guía completa de trigonometría

En esta guía vas a aprender trigonometría desde cero, con explicaciones claras, fórmulas importantes, dibujos de apoyo, aplicaciones prácticas y ejercicios resueltos paso a paso.

Contenido educativo Paso a paso Nivel secundario e ingreso

Objetivo de esta guía: ayudarte a reconocer qué fórmula usar, interpretar cada dibujo, distinguir lados y ángulos, y resolver ejercicios básicos y problemas más completos con triángulos rectángulos y oblicuángulos.

Sobre este material

Este contenido fue elaborado por Mate-Online, un espacio educativo dedicado a la enseñanza de matemática para estudiantes de nivel primario, secundario e ingreso universitario.

La guía está pensada como material de apoyo: combina teoría, fórmulas, ejemplos resueltos y recomendaciones para que el estudiante pueda estudiar con orden y entender el procedimiento antes de resolver.

Recomendación: leé primero la teoría, copiá las fórmulas principales en tu carpeta y después resolvé los ejemplos tapando la solución para practicar.

Índice

1. Qué estudia la trigonometría
2. Triángulo rectángulo y sus elementos
3. Razones trigonométricas
4. Valores trigonométricos notables
5. Razones inversas y cálculo de ángulos
6. Teorema de Pitágoras
7. Circunferencia trigonométrica
8. Ángulos de elevación y depresión
9. Casos típicos de aplicación
10. Triángulos oblicuángulos: ley de senos y cosenos
11. Áreas relacionadas con este tema
12. Perímetros, diagonales y escalas
13. Método general para resolver ejercicios
14. Errores comunes
15. Ejemplos resueltos paso a paso
16. Resumen final de fórmulas

1. Qué estudia la trigonometría

La trigonometría es la parte de la matemática que estudia la relación entre los ángulos y los lados de los triángulos. Gracias a ella podemos calcular longitudes, alturas, inclinaciones, distancias y áreas a partir de algunos datos conocidos.

¿Para qué sirve en la práctica?

• Calcular la altura de edificios, postes, árboles o torres.
• Resolver problemas con sombras y visuales.
• Analizar la inclinación de rampas, escaleras o rutas.
• Estimar distancias inaccesibles.
• Trabajar con navegación, topografía, física e ingeniería.

Idea central: con un ángulo y un lado, muchas veces ya se pueden hallar otros lados usando seno, coseno o tangente.

2. Triángulo rectángulo y sus elementos

Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo de 90°. Es la base de gran parte de la trigonometría escolar.

Hipotenusa

Es el lado opuesto al ángulo recto. Siempre es el lado más largo del triángulo rectángulo.

Cateto opuesto

Es el lado que queda enfrente del ángulo que estamos tomando como referencia.

Cateto adyacente

Es el lado que está al lado del ángulo de referencia, pero que no es la hipotenusa.

Muy importante: un mismo cateto puede ser opuesto o adyacente según el ángulo desde el que se mire.

Imagen 1. Triángulo rectángulo con sus elementos

3. Razones trigonométricas

Las tres razones trigonométricas principales en un triángulo rectángulo son:

sen(θ) = cateto opuesto / hipotenusa

cos(θ) = cateto adyacente / hipotenusa

tan(θ) = cateto opuesto / cateto adyacente

Cómo decidir cuál usar

Si intervienen	Razón conveniente	Forma
Opuesto e hipotenusa	Seno	sen(θ) = opuesto / hipotenusa
Adyacente e hipotenusa	Coseno	cos(θ) = adyacente / hipotenusa
Opuesto y adyacente	Tangente	tan(θ) = opuesto / adyacente

Regla de memoria

SOH - CAH - TOA

• SOH → Seno = Opuesto / Hipotenusa
• CAH → Coseno = Adyacente / Hipotenusa
• TOA → Tangente = Opuesto / Adyacente

Observación: las razones trigonométricas no dependen del tamaño del triángulo, sino del ángulo. Por eso, para un mismo ángulo, la razón entre lados siempre es la misma.

4. Valores trigonométricos notables

Hay algunos ángulos cuyos valores conviene saber o reconocer rápidamente: 0°, 30°, 45°, 60° y 90°.

Ángulo	sen	cos	tan
0°	0	1	0
30°	1/2	√3/2	√3/3
45°	√2/2	√2/2	1
60°	√3/2	1/2	√3
90°	1	0	No existe

Importante: la tangente de 90° no está definida porque implicaría dividir por cero.

5. Razones trigonométricas inversas

Si conocés los lados pero no el ángulo, se usan las funciones inversas:

θ = arcsen(opuesto / hipotenusa)

θ = arccos(adyacente / hipotenusa)

θ = arctan(opuesto / adyacente)

En la calculadora suelen figurar como sin⁻¹, cos⁻¹ y tan⁻¹.

Error frecuente: resolver en modo radianes cuando el ejercicio está en grados. En la mayoría de los ejercicios escolares se usa modo DEG.

6. Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo se cumple:

hipotenusa² = cateto1² + cateto2²

c² = a² + b²

Despejes más usados

c = √(a² + b²)

a = √(c² - b²)

b = √(c² - a²)

Ejemplo rápido

Si los catetos miden 6 m y 8 m:

c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 m

Pitágoras y trigonometría suelen aparecer juntos: con Pitágoras calculás un lado, y con trigonometría obtenés un ángulo o una longitud faltante.

7. Circunferencia trigonométrica

La circunferencia trigonométrica es una circunferencia de radio 1 con centro en el origen. Sirve para extender el estudio de la trigonometría más allá de los triángulos rectángulos y entender los signos de las funciones en cada cuadrante.

Ideas clave

• En la circunferencia unitaria, cos(θ) es la coordenada horizontal x.
• sen(θ) es la coordenada vertical y.
• tan(θ) = sen(θ)/cos(θ), cuando cos(θ) ≠ 0.

Signos por cuadrante

• I cuadrante: seno, coseno y tangente positivos.
• II cuadrante: seno positivo, coseno negativo, tangente negativa.
• III cuadrante: seno negativo, coseno negativo, tangente positiva.
• IV cuadrante: seno negativo, coseno positivo, tangente negativa.

Imagen 2. Circunferencia trigonométrica

Conversión entre grados y radianes

180° = π rad

grados → radianes: ángulo · π / 180

radianes → grados: ángulo · 180 / π

Grados	Radianes
30°	π/6
45°	π/4
60°	π/3
90°	π/2
180°	π
270°	3π/2
360°	2π

Identidad fundamental:

sen²(θ) + cos²(θ) = 1

8. Ángulos de elevación y de depresión

Ángulo de elevación

Es el ángulo que se forma cuando se mira hacia arriba desde una horizontal.

Ángulo de depresión

Es el ángulo que se forma cuando se mira hacia abajo desde una horizontal.

En muchos problemas, el ángulo de depresión es igual al ángulo de elevación correspondiente porque se forman ángulos alternos internos entre rectas paralelas.

Imagen 3. Ángulo de elevación

Imagen 4. Ángulo de depresión

9. Casos típicos de aplicación

9.1 Altura de un edificio, torre o poste

tan(θ) = altura / distancia

altura = distancia · tan(θ)

9.2 Escalera apoyada o cable tensor

altura = largo · sen(θ)

distancia a la pared = largo · cos(θ)

9.3 Avión o trayectoria inclinada

altura = recorrido · sen(θ)

distancia horizontal = recorrido · cos(θ)

9.4 Pendiente de una ruta

tan(θ) = desnivel / distancia horizontal

θ = arctan(desnivel / distancia horizontal)

9.5 Visuales desde cierta altura

altura total = altura calculada + altura del instrumento

9.6 Distancia entre dos objetos observados desde una misma altura

Primero se calcula la distancia horizontal a cada objeto y luego se suman o restan según el dibujo y la posición relativa.

10. Triángulos oblicuángulos

Son triángulos que no tienen ángulo recto. En estos casos ya no alcanza con la idea de opuesto, adyacente e hipotenusa como en los triángulos rectángulos. Se usan principalmente la ley de senos y la ley de cosenos.

Ley de Senos

a / sen(A) = b / sen(B) = c / sen(C)

Se usa sobre todo cuando se conocen:

• Dos ángulos y un lado.
• Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos.

Ley de Cosenos

a² = b² + c² - 2bc·cos(A)

b² = a² + c² - 2ac·cos(B)

c² = a² + b² - 2ab·cos(C)

Se usa mucho cuando se conocen:

• Dos lados y el ángulo comprendido.
• Los tres lados y se quiere hallar un ángulo.

Suma de ángulos interiores

A + B + C = 180°

Si el triángulo es isósceles, conviene recordar que los ángulos de la base son iguales. Muchas veces al trazar la altura se divide en dos triángulos rectángulos.

Imagen 5. Triángulo oblicuángulo con lados y ángulos

11. Áreas relacionadas con este tema

Área del triángulo

A = (base · altura) / 2

Área del trapecio

A = ((B + b) · h) / 2

Área de un triángulo con dos lados y el ángulo comprendido

A = (1/2)ab·sen(C)

Fórmula de Herón

Si conocés los tres lados de un triángulo:

s = (a + b + c) / 2

A = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

Perímetro

P = suma de todos los lados

12. Otras herramientas del tema

12.1 Diagonal de un rectángulo

d² = b² + h²

12.2 Escalas

E = dibujo / realidad

medida en el dibujo = medida real / factor de escala

medida real = medida en el dibujo · factor de escala

Antes de operar con escalas, todas las medidas deben estar en la misma unidad.

13. Método general para resolver correctamente

1. Leer bien el problema. Identificar qué datos da y qué pide.
2. Hacer un dibujo. Aunque sea simple, ayuda muchísimo.
3. Marcar lados y ángulos. Reconocer opuesto, adyacente e hipotenusa.
4. Elegir la fórmula adecuada.
5. Reemplazar con cuidado. Mantener unidades y símbolos.
6. Resolver con calculadora en grados.
7. Escribir la respuesta completa. Con unidad y significado.

Preguntas guía:

• ¿Es un triángulo rectángulo o no?
• ¿Me dieron un ángulo y un lado?
• ¿Busco un lado o un ángulo?
• ¿Hace falta sumar o restar alguna altura al final?
• ¿Conviene usar Pitágoras, seno, coseno, tangente, ley de senos o ley de cosenos?

14. Errores comunes

• Confundir cateto opuesto con adyacente.
• Usar seno cuando conviene coseno o tangente.
• No poner la calculadora en grados.
• Aplicar Pitágoras en un triángulo que no es rectángulo.
• Olvidar sumar o restar la altura del instrumento o de la persona.
• Redondear demasiado pronto.
• No convertir unidades antes de resolver.
• Usar mal la ley de senos o la ley de cosenos por no identificar correctamente el lado opuesto al ángulo.

15. Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 1: altura de un edificio

Desde un punto situado a 54 m de un edificio se observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 25°. El teodolito está a 1,5 m del suelo. Hallar la altura total del edificio.

Paso 1: respecto del teodolito, la altura buscada es el cateto opuesto y la distancia horizontal es el cateto adyacente.

tan(25°) = h / 54

h = 54 · tan(25°)

h ≈ 54 · 0,4663 = 25,18 m

Paso 2: sumar la altura del instrumento.

altura total = 25,18 + 1,5 = 26,68 m

Respuesta: la altura del edificio es aproximadamente 26,68 m.

---

Ejemplo 2: avión que asciende

Un avión despega con un ángulo de elevación de 23° y recorre 3000 m en línea recta. Hallar la distancia horizontal y la altura.

Altura:

sen(23°) = h / 3000

h = 3000 · sen(23°)

h ≈ 3000 · 0,3907 = 1172,1 m

Distancia horizontal:

cos(23°) = d / 3000

d = 3000 · cos(23°)

d ≈ 3000 · 0,9205 = 2761,5 m

Respuesta: altura ≈ 1172,1 m y distancia horizontal ≈ 2761,5 m.

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Ejemplo 3: cable de antena

Un tensor de 75 m forma un ángulo de 35° con el suelo. Hallar la altura de la antena y la distancia desde el pie de la antena hasta el anclaje.

Altura:

sen(35°) = h / 75

h = 75 · sen(35°)

h ≈ 75 · 0,5736 = 43,02 m

Distancia al anclaje:

cos(35°) = d / 75

d = 75 · cos(35°)

d ≈ 75 · 0,8192 = 61,44 m

Respuesta: altura ≈ 43,02 m y distancia horizontal ≈ 61,44 m.

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Ejemplo 4: ángulo de una pendiente

Una autopista sube 87 m cada 1000 m horizontales. Hallar su ángulo de elevación.

tan(θ) = 87 / 1000

θ = arctan(87 / 1000)

θ ≈ arctan(0,087) ≈ 4,97°

En grados, minutos y segundos:

0,97° · 60 = 58,2'

0,2' · 60 = 12''

Respuesta: aproximadamente 4° 58' 12''.

---

Ejemplo 5: ley de senos

En un triángulo, A = 70°, B = 30° y a = 20. Hallar c.

Paso 1: hallar el ángulo que falta.

C = 180° - 70° - 30° = 80°

Paso 2: aplicar ley de senos.

a / sen(A) = c / sen(C)

20 / sen(70°) = c / sen(80°)

c = 20 · sen(80°) / sen(70°)

c ≈ 20 · 0,9848 / 0,9397 ≈ 20,96

Respuesta: c ≈ 20,96.

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Ejemplo 6: ley de cosenos

En un triángulo se conocen dos lados: 5 y 7, y el ángulo comprendido entre ellos es 60°. Hallar el tercer lado.

a² = b² + c² - 2bc·cos(A)

a² = 5² + 7² - 2·5·7·cos(60°)

a² = 25 + 49 - 70·0,5

a² = 74 - 35 = 39

a = √39 ≈ 6,24

Respuesta: el tercer lado mide aproximadamente 6,24.

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Ejemplo 7: hallar un ángulo con tangente

En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto mide 9 cm y el adyacente 12 cm. Hallar el ángulo.

tan(θ) = 9 / 12 = 0,75

θ = arctan(0,75)

θ ≈ 36,87°

Respuesta: el ángulo mide aproximadamente 36,87°.

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Ejemplo 8: área con dos lados y ángulo comprendido

Calcular el área de un triángulo cuyos lados miden 8 cm y 11 cm, y forman entre sí un ángulo de 35°.

A = (1/2)ab·sen(C)

A = (1/2)·8·11·sen(35°)

A = 44·0,5736 ≈ 25,24 cm²

Respuesta: el área es aproximadamente 25,24 cm².

16. Resumen final de fórmulas

Triángulo rectángulo

sen(θ) = opuesto / hipotenusa

cos(θ) = adyacente / hipotenusa

tan(θ) = opuesto / adyacente

Funciones inversas

θ = arcsen(opuesto / hipotenusa)

θ = arccos(adyacente / hipotenusa)

θ = arctan(opuesto / adyacente)

Pitágoras

c² = a² + b²

Ley de senos

a / sen(A) = b / sen(B) = c / sen(C)

Ley de cosenos

a² = b² + c² - 2bc·cos(A)

Identidad trigonométrica fundamental

sen²(θ) + cos²(θ) = 1

Área del triángulo

A = (base · altura) / 2

A = (1/2)ab·sen(C)

Herón

s = (a + b + c) / 2

A = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

Conclusión: para resolver bien trigonometría hay que mirar con calma el dibujo, identificar qué datos hay, reconocer el tipo de triángulo y recién ahí elegir la fórmula. Si eso se hace bien, el resto del ejercicio se vuelve mucho más claro.

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