🔴 Logaritmos (explicados fácil + ejercicios resueltos paso a paso)

Mate-Online • Logaritmos paso a paso

Logaritmos
explicados fácil + ejercicios resueltos

Una guía clara, visual y paso a paso para entender qué es un logaritmo, cómo se relaciona con las potencias y cómo aplicar correctamente todas sus propiedades más usadas.

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Explicado paso a paso

Visual

Con idea gráfica fácil

Completo

Con propiedades ampliadas

🌟 ¿Qué es un logaritmo?

Los logaritmos son la operación inversa de las potencias. En otras palabras, un logaritmo responde a esta pregunta:

¿A qué exponente hay que elevar una base para obtener un número?

Logaritmos Potencias Base Exponente Ingreso

📘 Definición

log_a(b) = x

Esto significa:

a^x = b

Ejemplo: log₂(8) = 3 porque 2³ = 8.

📐 Idea visual para entenderlo mejor

Pensá que el logaritmo “desarma” una potencia y te muestra el exponente.

📌 Propiedades de los logaritmos

1. Producto

log_a(x·y) = log_a(x) + log_a(y)

El logaritmo de un producto se transforma en una suma.

2. Cociente

log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)

El logaritmo de un cociente se transforma en una resta.

3. Potencia

log_a(xⁿ) = n·log_a(x)

El exponente pasa multiplicando adelante.

4. Raíz

log_a(√x) = 1/2 · log_a(x)

La raíz puede escribirse como una potencia de exponente 1/2.

5. Logaritmo de 1

log_a(1) = 0

Porque a⁰ = 1.

6. Logaritmo de la base

log_a(a) = 1

Porque a¹ = a.

7. Inversa con la exponencial

log_a(a^x) = x

El logaritmo y la potencia en la misma base se cancelan.

8. Exponencial del logaritmo

a^log_a(x) = x

También se cancelan cuando la base es la misma.

9. Cambio de base

log_a(x) = log(x) / log(a)

Sirve para calcular logaritmos con calculadora cuando la base no aparece directamente.

Importante: estas propiedades se aplican correctamente cuando los valores dentro del logaritmo son positivos.

⚡ Consejo importante

Cuando veas un logaritmo, tratá de traducirlo a una potencia equivalente. Esa idea hace que casi todos los ejercicios básicos sean más fáciles de entender.

🧠 Ejercicios resueltos paso a paso

Resueltos de forma clara para que entiendas cómo pensar cada caso.

1. log₂(4)

Nos preguntamos: ¿a qué exponente hay que elevar 2 para obtener 4?

2² = 4

Resultado final: log₂(4) = 2

2. log₃(9)

Buscamos el exponente de 3 que da 9.

3² = 9

Resultado final: log₃(9) = 2

3. log₁₀(100)

Buscamos el exponente de 10 que da 100.

10² = 100

Resultado final: log₁₀(100) = 2

4. log(2·5)

Aplicamos la propiedad del producto:

log(2·5) = log(2) + log(5)

Resultado final: log(2·5) = log(2) + log(5)

5. log(8/2)

Aplicamos la propiedad del cociente:

log(8/2) = log(8) - log(2)

Resultado final: log(8/2) = log(8) - log(2)

6. log(2³)

Aplicamos la propiedad de la potencia:

log(2³) = 3·log(2)

Resultado final: log(2³) = 3·log(2)

7. log(√x)

Usamos la propiedad de la raíz:

log(√x) = log(x^1/2)

= 1/2 · log(x)

Resultado final: log(√x) = 1/2 · log(x)

8. log₅(1)

Sabemos que el logaritmo de 1 siempre vale 0:

log₅(1) = 0

Resultado final: log₅(1) = 0

9. log₇(7)

Sabemos que el logaritmo de la base siempre vale 1:

log₇(7) = 1

Resultado final: log₇(7) = 1

📝 Ejercicios para practicar

• log₂(16)
• log₅(25)
• log₁₀(1000)
• log(3·4)
• log(9/3)
• log(√x)
• log₄(1)
• log₆(6)

⚠️ Errores comunes

• No entender que el logaritmo es la operación inversa de la potencia.
• Aplicar mal las propiedades.
• Confundir la base del logaritmo.
• Olvidar que el argumento del logaritmo debe ser positivo.
• Creer que log(x+y) = log(x) + log(y), lo cual es falso.

❓ Preguntas frecuentes

¿Qué significa log₂(8) = 3?

Significa que 2³ = 8.

¿Para qué sirven las propiedades?

Sirven para simplificar expresiones y resolver ejercicios más fácilmente.

¿Siempre hay que mirar la base?

Sí. La base es fundamental para interpretar correctamente el logaritmo.

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