Mate-Online • Integrales paso a paso

Integrales por sustitución
explicadas paso a paso

Una guía completa, clara y muy práctica para entender el método de sustitución, reconocer cuándo conviene usarlo y resolver integrales más complejas con seguridad.

💬 Consultar clases 📘 Ver ejercicios

Claro

Método explicado fácil

Paso a paso

Con desarrollo completo

Útil

Para cálculo universitario

🌟 Introducción

La integración por sustitución permite resolver integrales más complejas transformándolas en otras más simples.

La idea general es cambiar una parte de la expresión por una nueva variable, para que la integral quede más fácil de integrar.

Es uno de los métodos más importantes en cálculo y aparece mucho en ingreso y universidad.

📌 Idea clave

Buscamos una parte de la función que podamos reemplazar por una nueva variable.

Ejemplo típico:

u = x² + 1

Después derivamos esa expresión para obtener du y poder reemplazar dentro de la integral.

Importante: normalmente conviene elegir como u la parte “interna” de la expresión.

📌 Pasos para resolver

1. Elegir u.
2. Derivar u para obtener du.
3. Reemplazar en la integral.
4. Integrar en función de u.
5. Volver a la variable original x.

⚡ ¿Cuándo conviene usar sustitución?

Expresión interna Derivada parecida afuera Cambio de variable Integrales compuestas Método clásico

Este método suele aparecer cuando dentro de la integral hay una expresión compuesta y, multiplicando o acompañando, aparece algo parecido a su derivada.

📌 Ejercicios resueltos paso a paso

Explicados de forma clara para que entiendas bien el procedimiento completo.

1. ∫2x(x² + 1) dx

Paso 1: elegimos la sustitución.

u = x² + 1

Paso 2: derivamos.

du = 2x dx

Paso 3: reemplazamos en la integral.

∫u du

Paso 4: integramos.

u²/2

Paso 5: volvemos a la variable original.

(x² + 1)²/2 + C

Resultado final: (x² + 1)²/2 + C

2. ∫(3x²)(x³ + 2) dx

Paso 1: elegimos la parte interna.

u = x³ + 2

Paso 2: derivamos.

du = 3x² dx

Paso 3: reemplazamos.

∫u du

Paso 4: integramos.

u²/2

Paso 5: volvemos a x.

(x³ + 2)²/2 + C

Resultado final: (x³ + 2)²/2 + C

3. ∫(2x)/(x² + 1) dx

Paso 1: elegimos la sustitución.

u = x² + 1

Paso 2: derivamos.

du = 2x dx

Paso 3: reemplazamos.

∫du/u

Paso 4: integramos.

ln|u| + C

Paso 5: volvemos a x.

ln(x² + 1) + C

Resultado final: ln(x² + 1) + C

4. ∫(4x)/(x² + 5) dx

Paso 1: elegimos la sustitución.

u = x² + 5

Paso 2: derivamos.

du = 2x dx

Paso 3: observamos que en la integral aparece 4x dx, o sea el doble de du.

4x dx = 2 du

Paso 4: reemplazamos.

∫2 du/u

Paso 5: integramos.

2 ln|u| + C

Paso 6: volvemos a x.

2 ln(x² + 5) + C

Resultado final: 2 ln(x² + 5) + C

📝 Ejercicios para practicar

• ∫2x(x² + 3) dx
• ∫3x²(x³ + 1) dx
• ∫(2x)/(x² + 4) dx
• ∫(6x)/(x² + 2) dx
• ∫x(x² + 1) dx

⚠️ Errores comunes

• Elegir mal la sustitución.
• No derivar correctamente u.
• No ajustar los factores numéricos cuando falta o sobra algo.
• Olvidar volver a la variable original x.
• Olvidar la constante de integración + C.

💡 Consejo final

Cuando una integral parece complicada, no te apures. Mirá primero si hay una expresión “interna” cuya derivada aparece acompañando.

Muchas integrales que parecen difíciles se resuelven muy bien con una buena sustitución.

❓ Preguntas frecuentes

¿Cómo sé qué elegir como u?

Generalmente conviene elegir la parte interna de la expresión, especialmente si su derivada aparece cerca.

¿Siempre hay que volver a x?

Sí. El resultado final debe quedar en la variable original, salvo que el ejercicio diga otra cosa.

¿Qué pasa si falta un número para que aparezca du?

Se puede multiplicar y dividir, o sacar un factor constante para acomodar la integral.

🚀 Dominá cálculo universitario con Mate-Online

Clases online paso a paso para entender integrales de verdad.

Ideal para practicar, resolver dudas y avanzar con más seguridad.

💬 Consultar clases

💙 ¿Te sirvió este contenido?

Podés apoyar Mate-Online para que sigamos creando ejercicios y explicaciones.

❤️ Apoyar Mate-Online

Palabras clave: integrales por sustitución, integración por sustitución paso a paso, ejercicios resueltos de integrales, cálculo universitario, cambio de variable, matemática online.