🔴 Integrales más avanzadas (sumas y constantes) – paso a paso

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Integrales más avanzadas con sumas y constantes

Una guía Ultra PRO+, visual, clara y pensada para celular, para aprender las propiedades lineales de las integrales, separar términos, trabajar con sumas, restas y constantes y resolver ejercicios paso a paso.

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🌟 Introducción

Cuando una integral tiene sumas, restas o constantes, no hace falta resolver todo junto. La clave es aplicar correctamente las propiedades de linealidad.

Esto permite separar la integral en partes más simples y resolver cada término por separado. Si dominás este tema, después te va a resultar mucho más fácil avanzar con integrales más complejas.

📌 Idea clave

Las integrales respetan suma, resta y multiplicación por constante. Eso significa que podés “desarmar” una expresión grande en integrales más chicas.

👉 Primero separá correctamente. Después integrá cada término. Al final, agregá + C.

📌 Propiedades fundamentales

1. Suma

∫(f + g) dx = ∫f dx + ∫g dx

2. Resta

∫(f - g) dx = ∫f dx - ∫g dx

3. Constante por función

∫k·f(x) dx = k·∫f(x) dx

4. Integral de constante

∫k dx = kx + C

5. Linealidad general

∫(a·f + b·g) dx = a∫f dx + b∫g dx

6. Integral de cero

∫0 dx = C

7. Constante de integración

∫f(x) dx = F(x) + C

📌 Cómo pensar antes de integrar

1. Mirá si hay sumas o restas.

2. Sacá las constantes que estén multiplicando.

3. Integrá cada término por separado.

4. Simplificá el resultado.

5. No olvides la constante de integración.

📊 Tabla rápida de referencia

Expresión	Propiedad	Resultado
∫(x² + x) dx	Suma	∫x² dx + ∫x dx
∫(3x - 5) dx	Resta y constante	3∫x dx - ∫5 dx
∫(4x² + 2x + 7) dx	Linealidad	4∫x² dx + 2∫x dx + ∫7 dx

📘 Ejercicios resueltos paso a paso

Abajo tenés una colección larga de integrales resueltas con el mismo modelo: separar, integrar, simplificar y cerrar con + C.

1. ∫(3x² + 2x) dx

Separamos la integral: ∫(3x² + 2x) dx = ∫3x² dx + ∫2x dx

Sacamos constantes: 3∫x² dx + 2∫x dx

Aplicamos potencias: 3(x³/3) + 2(x²/2)

Simplificamos: (3/3)x³ + (2/2)x²

Resultado: (3/3)x³ + (2/2)x² + C

2. ∫(4x + 5) dx

Separamos la integral: ∫(4x + 5) dx = ∫4x dx + ∫5 dx

Sacamos la constante del primer término: 4∫x dx + ∫5 dx

Resolvemos cada integral: 4(x²/2) + 5x

Simplificamos: (4/2)x² + 5x

Resultado: (4/2)x² + 5x + C

3. ∫(5x³ + 4x + 6) dx

Usamos linealidad: ∫(5x³ + 4x + 6) dx = ∫5x³ dx + ∫4x dx + ∫6 dx

Sacamos constantes: 5∫x³ dx + 4∫x dx + ∫6 dx

Aplicamos la regla de la potencia: 5(x⁴/4) + 4(x²/2) + 6x

Simplificamos: (5/4)x⁴ + (4/2)x² + 6x

Resultado: (5/4)x⁴ + (4/2)x² + 6x + C

4. ∫(6x² - 5x + 7) dx

Separarmos respetando la resta: ∫(6x² - 5x + 7) dx = ∫6x² dx - ∫5x dx + ∫7 dx

Sacamos constantes: 6∫x² dx - 5∫x dx + ∫7 dx

Aplicamos la regla de la potencia: 6(x³/3) - 5(x²/2) + 7x

Simplificamos: (6/3)x³ - (5/2)x² + 7x

Resultado: (6/3)x³ - (5/2)x² + 7x + C

5. ∫(2x² + 6x) dx

Separamos la integral: ∫(2x² + 6x) dx = ∫2x² dx + ∫6x dx

Sacamos constantes: 2∫x² dx + 6∫x dx

Aplicamos potencias: 2(x³/3) + 6(x²/2)

Simplificamos: (2/3)x³ + (6/2)x²

Resultado: (2/3)x³ + (6/2)x² + C

6. ∫(3x + 3) dx

Separamos la integral: ∫(3x + 3) dx = ∫3x dx + ∫3 dx

Sacamos la constante del primer término: 3∫x dx + ∫3 dx

Resolvemos cada integral: 3(x²/2) + 3x

Simplificamos: (3/2)x² + 3x

Resultado: (3/2)x² + 3x + C

7. ∫(4x³ + 1x + 4) dx

Usamos linealidad: ∫(4x³ + 1x + 4) dx = ∫4x³ dx + ∫1x dx + ∫4 dx

Sacamos constantes: 4∫x³ dx + 1∫x dx + ∫4 dx

Aplicamos la regla de la potencia: 4(x⁴/4) + 1(x²/2) + 4x

Simplificamos: (4/4)x⁴ + (1/2)x² + 4x

Resultado: (4/4)x⁴ + (1/2)x² + 4x + C

8. ∫(5x² - 2x + 5) dx

Separarmos respetando la resta: ∫(5x² - 2x + 5) dx = ∫5x² dx - ∫2x dx + ∫5 dx

Sacamos constantes: 5∫x² dx - 2∫x dx + ∫5 dx

Aplicamos la regla de la potencia: 5(x³/3) - 2(x²/2) + 5x

Simplificamos: (5/3)x³ - (2/2)x² + 5x

Resultado: (5/3)x³ - (2/2)x² + 5x + C

9. ∫(6x² + 3x) dx

Separamos la integral: ∫(6x² + 3x) dx = ∫6x² dx + ∫3x dx

Sacamos constantes: 6∫x² dx + 3∫x dx

Aplicamos potencias: 6(x³/3) + 3(x²/2)

Simplificamos: (6/3)x³ + (3/2)x²

Resultado: (6/3)x³ + (3/2)x² + C

10. ∫(2x + 7) dx

Separamos la integral: ∫(2x + 7) dx = ∫2x dx + ∫7 dx

Sacamos la constante del primer término: 2∫x dx + ∫7 dx

Resolvemos cada integral: 2(x²/2) + 7x

Simplificamos: (2/2)x² + 7x

Resultado: (2/2)x² + 7x + C

11. ∫(3x³ + 5x + 8) dx

Usamos linealidad: ∫(3x³ + 5x + 8) dx = ∫3x³ dx + ∫5x dx + ∫8 dx

Sacamos constantes: 3∫x³ dx + 5∫x dx + ∫8 dx

Aplicamos la regla de la potencia: 3(x⁴/4) + 5(x²/2) + 8x

Simplificamos: (3/4)x⁴ + (5/2)x² + 8x

Resultado: (3/4)x⁴ + (5/2)x² + 8x + C

12. ∫(4x² - 6x + 3) dx

Separarmos respetando la resta: ∫(4x² - 6x + 3) dx = ∫4x² dx - ∫6x dx + ∫3 dx

Sacamos constantes: 4∫x² dx - 6∫x dx + ∫3 dx

Aplicamos la regla de la potencia: 4(x³/3) - 6(x²/2) + 3x

Simplificamos: (4/3)x³ - (6/2)x² + 3x

Resultado: (4/3)x³ - (6/2)x² + 3x + C

13. ∫(5x² + 7x) dx

Separamos la integral: ∫(5x² + 7x) dx = ∫5x² dx + ∫7x dx

Sacamos constantes: 5∫x² dx + 7∫x dx

Aplicamos potencias: 5(x³/3) + 7(x²/2)

Simplificamos: (5/3)x³ + (7/2)x²

Resultado: (5/3)x³ + (7/2)x² + C

14. ∫(6x + 5) dx

Separamos la integral: ∫(6x + 5) dx = ∫6x dx + ∫5 dx

Sacamos la constante del primer término: 6∫x dx + ∫5 dx

Resolvemos cada integral: 6(x²/2) + 5x

Simplificamos: (6/2)x² + 5x

Resultado: (6/2)x² + 5x + C

15. ∫(2x³ + 2x + 6) dx

Usamos linealidad: ∫(2x³ + 2x + 6) dx = ∫2x³ dx + ∫2x dx + ∫6 dx

Sacamos constantes: 2∫x³ dx + 2∫x dx + ∫6 dx

Aplicamos la regla de la potencia: 2(x⁴/4) + 2(x²/2) + 6x

Simplificamos: (2/4)x⁴ + (2/2)x² + 6x

Resultado: (2/4)x⁴ + (2/2)x² + 6x + C

16. ∫(3x² - 3x + 7) dx

Separarmos respetando la resta: ∫(3x² - 3x + 7) dx = ∫3x² dx - ∫3x dx + ∫7 dx

Sacamos constantes: 3∫x² dx - 3∫x dx + ∫7 dx

Aplicamos la regla de la potencia: 3(x³/3) - 3(x²/2) + 7x

Simplificamos: (3/3)x³ - (3/2)x² + 7x

Resultado: (3/3)x³ - (3/2)x² + 7x + C

17. ∫(4x² + 4x) dx

Separamos la integral: ∫(4x² + 4x) dx = ∫4x² dx + ∫4x dx

Sacamos constantes: 4∫x² dx + 4∫x dx

Aplicamos potencias: 4(x³/3) + 4(x²/2)

Simplificamos: (4/3)x³ + (4/2)x²

Resultado: (4/3)x³ + (4/2)x² + C

18. ∫(5x + 3) dx

Separamos la integral: ∫(5x + 3) dx = ∫5x dx + ∫3 dx

Sacamos la constante del primer término: 5∫x dx + ∫3 dx

Resolvemos cada integral: 5(x²/2) + 3x

Simplificamos: (5/2)x² + 3x

Resultado: (5/2)x² + 3x + C

19. ∫(6x³ + 6x + 4) dx

Usamos linealidad: ∫(6x³ + 6x + 4) dx = ∫6x³ dx + ∫6x dx + ∫4 dx

Sacamos constantes: 6∫x³ dx + 6∫x dx + ∫4 dx

Aplicamos la regla de la potencia: 6(x⁴/4) + 6(x²/2) + 4x

Simplificamos: (6/4)x⁴ + (6/2)x² + 4x

Resultado: (6/4)x⁴ + (6/2)x² + 4x + C

20. ∫(2x² - 7x + 5) dx

Separarmos respetando la resta: ∫(2x² - 7x + 5) dx = ∫2x² dx - ∫7x dx + ∫5 dx

Sacamos constantes: 2∫x² dx - 7∫x dx + ∫5 dx

Aplicamos la regla de la potencia: 2(x³/3) - 7(x²/2) + 5x

Simplificamos: (2/3)x³ - (7/2)x² + 5x

Resultado: (2/3)x³ - (7/2)x² + 5x + C

21. ∫(3x² + 1x) dx

Separamos la integral: ∫(3x² + 1x) dx = ∫3x² dx + ∫1x dx

Sacamos constantes: 3∫x² dx + 1∫x dx

Aplicamos potencias: 3(x³/3) + 1(x²/2)

Simplificamos: (3/3)x³ + (1/2)x²

Resultado: (3/3)x³ + (1/2)x² + C

22. ∫(4x + 7) dx

Separamos la integral: ∫(4x + 7) dx = ∫4x dx + ∫7 dx

Sacamos la constante del primer término: 4∫x dx + ∫7 dx

Resolvemos cada integral: 4(x²/2) + 7x

Simplificamos: (4/2)x² + 7x

Resultado: (4/2)x² + 7x + C

23. ∫(5x³ + 3x + 8) dx

Usamos linealidad: ∫(5x³ + 3x + 8) dx = ∫5x³ dx + ∫3x dx + ∫8 dx

Sacamos constantes: 5∫x³ dx + 3∫x dx + ∫8 dx

Aplicamos la regla de la potencia: 5(x⁴/4) + 3(x²/2) + 8x

Simplificamos: (5/4)x⁴ + (3/2)x² + 8x

Resultado: (5/4)x⁴ + (3/2)x² + 8x + C

24. ∫(6x² - 4x + 3) dx

Separarmos respetando la resta: ∫(6x² - 4x + 3) dx = ∫6x² dx - ∫4x dx + ∫3 dx

Sacamos constantes: 6∫x² dx - 4∫x dx + ∫3 dx

Aplicamos la regla de la potencia: 6(x³/3) - 4(x²/2) + 3x

Simplificamos: (6/3)x³ - (4/2)x² + 3x

Resultado: (6/3)x³ - (4/2)x² + 3x + C

25. ∫(2x² + 5x) dx

Separamos la integral: ∫(2x² + 5x) dx = ∫2x² dx + ∫5x dx

Sacamos constantes: 2∫x² dx + 5∫x dx

Aplicamos potencias: 2(x³/3) + 5(x²/2)

Simplificamos: (2/3)x³ + (5/2)x²

Resultado: (2/3)x³ + (5/2)x² + C

26. ∫(3x + 5) dx

Separamos la integral: ∫(3x + 5) dx = ∫3x dx + ∫5 dx

Sacamos la constante del primer término: 3∫x dx + ∫5 dx

Resolvemos cada integral: 3(x²/2) + 5x

Simplificamos: (3/2)x² + 5x

Resultado: (3/2)x² + 5x + C

27. ∫(4x³ + 7x + 6) dx

Usamos linealidad: ∫(4x³ + 7x + 6) dx = ∫4x³ dx + ∫7x dx + ∫6 dx

Sacamos constantes: 4∫x³ dx + 7∫x dx + ∫6 dx

Aplicamos la regla de la potencia: 4(x⁴/4) + 7(x²/2) + 6x

Simplificamos: (4/4)x⁴ + (7/2)x² + 6x

Resultado: (4/4)x⁴ + (7/2)x² + 6x + C

28. ∫(5x² - 1x + 7) dx

Separarmos respetando la resta: ∫(5x² - 1x + 7) dx = ∫5x² dx - ∫1x dx + ∫7 dx

Sacamos constantes: 5∫x² dx - 1∫x dx + ∫7 dx

Aplicamos la regla de la potencia: 5(x³/3) - 1(x²/2) + 7x

Simplificamos: (5/3)x³ - (1/2)x² + 7x

Resultado: (5/3)x³ - (1/2)x² + 7x + C

29. ∫(6x² + 2x) dx

Separamos la integral: ∫(6x² + 2x) dx = ∫6x² dx + ∫2x dx

Sacamos constantes: 6∫x² dx + 2∫x dx

Aplicamos potencias: 6(x³/3) + 2(x²/2)

Simplificamos: (6/3)x³ + (2/2)x²

Resultado: (6/3)x³ + (2/2)x² + C

30. ∫(2x + 3) dx

Separamos la integral: ∫(2x + 3) dx = ∫2x dx + ∫3 dx

Sacamos la constante del primer término: 2∫x dx + ∫3 dx

Resolvemos cada integral: 2(x²/2) + 3x

Simplificamos: (2/2)x² + 3x

Resultado: (2/2)x² + 3x + C

31. ∫(3x³ + 4x + 4) dx

Usamos linealidad: ∫(3x³ + 4x + 4) dx = ∫3x³ dx + ∫4x dx + ∫4 dx

Sacamos constantes: 3∫x³ dx + 4∫x dx + ∫4 dx

Aplicamos la regla de la potencia: 3(x⁴/4) + 4(x²/2) + 4x

Simplificamos: (3/4)x⁴ + (4/2)x² + 4x

Resultado: (3/4)x⁴ + (4/2)x² + 4x + C

32. ∫(4x² - 5x + 5) dx

Separarmos respetando la resta: ∫(4x² - 5x + 5) dx = ∫4x² dx - ∫5x dx + ∫5 dx

Sacamos constantes: 4∫x² dx - 5∫x dx + ∫5 dx

Aplicamos la regla de la potencia: 4(x³/3) - 5(x²/2) + 5x

Simplificamos: (4/3)x³ - (5/2)x² + 5x

Resultado: (4/3)x³ - (5/2)x² + 5x + C

33. ∫(5x² + 6x) dx

Separamos la integral: ∫(5x² + 6x) dx = ∫5x² dx + ∫6x dx

Sacamos constantes: 5∫x² dx + 6∫x dx

Aplicamos potencias: 5(x³/3) + 6(x²/2)

Simplificamos: (5/3)x³ + (6/2)x²

Resultado: (5/3)x³ + (6/2)x² + C

34. ∫(6x + 7) dx

Separamos la integral: ∫(6x + 7) dx = ∫6x dx + ∫7 dx

Sacamos la constante del primer término: 6∫x dx + ∫7 dx

Resolvemos cada integral: 6(x²/2) + 7x

Simplificamos: (6/2)x² + 7x

Resultado: (6/2)x² + 7x + C

35. ∫(2x³ + 1x + 8) dx

Usamos linealidad: ∫(2x³ + 1x + 8) dx = ∫2x³ dx + ∫1x dx + ∫8 dx

Sacamos constantes: 2∫x³ dx + 1∫x dx + ∫8 dx

Aplicamos la regla de la potencia: 2(x⁴/4) + 1(x²/2) + 8x

Simplificamos: (2/4)x⁴ + (1/2)x² + 8x

Resultado: (2/4)x⁴ + (1/2)x² + 8x + C

36. ∫(3x² - 2x + 3) dx

Separarmos respetando la resta: ∫(3x² - 2x + 3) dx = ∫3x² dx - ∫2x dx + ∫3 dx

Sacamos constantes: 3∫x² dx - 2∫x dx + ∫3 dx

Aplicamos la regla de la potencia: 3(x³/3) - 2(x²/2) + 3x

Simplificamos: (3/3)x³ - (2/2)x² + 3x

Resultado: (3/3)x³ - (2/2)x² + 3x + C

37. ∫(4x² + 3x) dx

Separamos la integral: ∫(4x² + 3x) dx = ∫4x² dx + ∫3x dx

Sacamos constantes: 4∫x² dx + 3∫x dx

Aplicamos potencias: 4(x³/3) + 3(x²/2)

Simplificamos: (4/3)x³ + (3/2)x²

Resultado: (4/3)x³ + (3/2)x² + C

38. ∫(5x + 5) dx

Separamos la integral: ∫(5x + 5) dx = ∫5x dx + ∫5 dx

Sacamos la constante del primer término: 5∫x dx + ∫5 dx

Resolvemos cada integral: 5(x²/2) + 5x

Simplificamos: (5/2)x² + 5x

Resultado: (5/2)x² + 5x + C

39. ∫(6x³ + 5x + 6) dx

Usamos linealidad: ∫(6x³ + 5x + 6) dx = ∫6x³ dx + ∫5x dx + ∫6 dx

Sacamos constantes: 6∫x³ dx + 5∫x dx + ∫6 dx

Aplicamos la regla de la potencia: 6(x⁴/4) + 5(x²/2) + 6x

Simplificamos: (6/4)x⁴ + (5/2)x² + 6x

Resultado: (6/4)x⁴ + (5/2)x² + 6x + C

📝 Ejercicios para practicar

• ∫(x² + 2x) dx
• ∫(3x + 4) dx
• ∫(2x² + x + 1) dx
• ∫(5x² + 3x + 7) dx
• ∫(6x + 2) dx
• ∫(4x³ + 2x + 1) dx
• ∫(7x² - 5x + 3) dx
• ∫(8x³ + 4x² + 2) dx

Consejo: primero separá. Después integrá. Al final revisá si no olvidaste la constante + C.

⚠️ Errores comunes

• No separar correctamente una suma o una resta.
• Olvidar sacar la constante que multiplica.
• Integrar una constante como si fuera potencia.
• Aplicar mal la regla del exponente.
• Olvidar escribir + C.

📌 Consejo estratégico

Cuando una integral parece larga, no significa que sea difícil. Muchas veces solo hay que usar bien la linealidad.

Si cada término lo resolvés por separado, el ejercicio se vuelve mucho más ordenado y seguro.

Si podés transformar una integral grande en varias integrales simples, ya estás pensando como alguien que entiende cálculo.

🎯 Si entendés este tema vas a lograr:

• Resolver integrales polinómicas más rápido.
• Aplicar correctamente suma, resta y constantes.
• Evitar errores comunes de linealidad.
• Prepararte mejor para integrales más complejas.

❓ Preguntas frecuentes

¿Siempre puedo separar una suma?
Sí. La integral de una suma es la suma de las integrales.

¿Qué pasa con una resta?
También se puede separar respetando el signo.

¿La constante se puede sacar?
Sí. Si una constante multiplica a una función, sale fuera de la integral.

¿Qué no me puedo olvidar nunca?
La constante de integración + C.

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