🔴 Ejercicios mixtos de cálculo (nivel ingreso/universidad – paso a paso)

Mate-Online • Cálculo paso a paso

Ejercicios mixtos de cálculo
nivel ingreso / universidad

Una guía clara, completa y paso a paso para combinar límites, derivadas e integrales, como suele pasar en exámenes de cálculo.

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Mixto

Combina varios temas

Claro

Resuelto paso a paso

Examen

Muy útil para practicar

🌟 Introducción

En estos ejercicios vas a combinar límites, derivadas e integrales.

Este tipo de práctica es muy importante porque en los parciales y exámenes no suele aparecer un solo tema aislado, sino varios conceptos juntos.

La idea es que aprendas a reconocer rápidamente qué herramienta conviene usar en cada situación.

📘 ¿Qué se trabaja en cálculo mixto?

Límites Derivadas Integrales Máximos Áreas Crecimiento

Idea clave: antes de resolver, conviene identificar si el ejercicio pide simplificar un límite, derivar, integrar, estudiar crecimiento o calcular un área.

⚡ Consejo importante

Muchos errores aparecen por apurarse. En cálculo mixto conviene seguir este orden:

• leer bien qué pide el ejercicio,
• identificar el tema,
• usar la regla correcta,
• y recién después simplificar.

📌 Ejercicios resueltos

Explicados de forma clara para que entiendas el procedimiento en cada caso.

1. Límite

Ejercicio: lim (x² - 1)/(x - 1)

Paso 1: factorizamos el numerador.

x² - 1 = (x - 1)(x + 1)

Paso 2: simplificamos con el denominador.

(x - 1)(x + 1)/(x - 1) = x + 1

Paso 3: evaluamos en x = 1.

1 + 1 = 2

Resultado final: el límite vale 2

2. Derivada

Ejercicio: f(x) = x² + 3x

Paso 1: derivamos término a término.

d/dx (x²) = 2x

d/dx (3x) = 3

Resultado final: f'(x) = 2x + 3

3. Derivada con producto

Ejercicio: f(x) = x(x²)

Paso 1: primero podemos simplificar.

x(x²) = x³

Paso 2: derivamos.

d/dx (x³) = 3x²

Resultado final: f'(x) = 3x²

4. Integral

Ejercicio: ∫(x² + x) dx

Paso 1: integramos término a término.

∫x² dx = x³/3

∫x dx = x²/2

Paso 2: agregamos la constante.

Resultado final: x³/3 + x²/2 + C

5. Integral con sustitución

Ejercicio: ∫2x(x² + 1) dx

Paso 1: observamos que la derivada de x² + 1 es 2x.

Paso 2: tomamos u = x² + 1.

Paso 3: entonces du = 2x dx.

Paso 4: la integral queda ∫u du.

Paso 5: ∫u du = u²/2 + C

Paso 6: volvemos a la variable original.

Resultado final: (x² + 1)²/2 + C

6. Máximo

Ejercicio: f(x) = -x² + 4x

Paso 1: derivamos.

f'(x) = -2x + 4

Paso 2: igualamos a cero.

-2x + 4 = 0

Paso 3: despejamos.

x = 2

Resultado final: el máximo se alcanza en x = 2

7. Crecimiento

Ejercicio: f(x) = x³

Paso 1: derivamos.

f'(x) = 3x²

Paso 2: analizamos el signo.

Como 3x² ≥ 0 para todo x, la derivada no es negativa.

Resultado final: la función es creciente

8. Área

Ejercicio: ∫x dx entre 0 y 2

Paso 1: calculamos la integral primitiva.

∫x dx = x²/2

Paso 2: evaluamos entre 0 y 2.

[x²/2]₀² = (2²/2) - (0²/2)

= 4/2 - 0 = 2

Resultado final: el área vale 2

📝 Ejercicios para practicar

• lim (x² - 4)/(x - 2)
• Derivar x³ + x
• ∫(x² + 2x) dx
• Máximo de -x² + 6x
• ∫2x(x² + 2) dx

⚠️ Errores comunes

• No factorizar correctamente en límites.
• Derivar mal una potencia.
• Olvidar la constante en una integral indefinida.
• No verificar el signo de la derivada al estudiar crecimiento.
• Evaluar mal una integral definida.

❓ Preguntas frecuentes

¿Qué tema conviene reconocer primero?

Conviene mirar si el ejercicio pide límite, derivada, integral, máximo, crecimiento o área.

¿Siempre hay que simplificar antes?

No siempre, pero cuando se puede, simplificar suele hacer el cálculo más fácil.

¿Por qué estos ejercicios son tan importantes?

Porque en exámenes suelen aparecer combinados y obligan a dominar varios temas a la vez.

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