Mate-Online • Derivadas paso a paso

Derivadas con productos y cocientes
resueltas paso a paso

Una guía completa, clara y muy útil para aprender a derivar funciones con multiplicaciones y divisiones usando la regla del producto y la regla del cociente.

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Reglas bien explicadas

Paso a paso

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🌟 Introducción

Cuando una función tiene una multiplicación o una división entre expresiones, no alcanza con derivar cada parte por separado sin cuidado.

Para eso usamos la regla del producto y la regla del cociente.

Estas dos reglas aparecen muchísimo en cálculo y son fundamentales para resolver ejercicios correctamente.

📌 ¿Cuándo usar cada regla?

Producto Cociente Funciones combinadas Derivadas Cálculo

Si la función tiene una multiplicación entre dos expresiones, usás la regla del producto.

Si la función tiene una división, usás la regla del cociente.

📌 Regla del producto

Si una función es:

f(x) = u(x) · v(x)

Entonces su derivada es:

f'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x)

Idea simple: derivás la primera por la segunda sin derivar, más la primera sin derivar por la derivada de la segunda.

📌 Regla del cociente

Si una función es:

f(x) = u(x) / v(x)

Entonces su derivada es:

f'(x) = (u'(x)·v(x) - u(x)·v'(x)) / [v(x)]²

Idea simple: derivada de arriba por abajo, menos arriba por derivada de abajo, dividido abajo al cuadrado.

⚡ Consejo importante

Antes de derivar, conviene identificar con claridad:

• quién es u(x),
• quién es v(x),
• y cuánto vale cada derivada.

Importante: muchos errores no aparecen en la regla, sino en identificar mal las partes o en simplificar mal al final.

📌 Ejercicios resueltos con producto

Explicados de forma clara para entender bien cómo aplicar la regla.

1. f(x) = x · x²

Paso 1: identificamos las funciones.

u(x) = x

v(x) = x²

Paso 2: derivamos cada una.

u'(x) = 1

v'(x) = 2x

Paso 3: aplicamos la regla.

f'(x) = 1·x² + x·2x

Paso 4: simplificamos.

f'(x) = x² + 2x² = 3x²

Resultado final: f'(x) = 3x²

2. f(x) = x²(x + 1)

Paso 1: identificamos.

u(x) = x²

v(x) = x + 1

Paso 2: derivamos.

u'(x) = 2x

v'(x) = 1

Paso 3: aplicamos la regla.

f'(x) = 2x(x + 1) + x²·1

Paso 4: desarrollamos.

f'(x) = 2x² + 2x + x²

Paso 5: simplificamos.

f'(x) = 3x² + 2x

Resultado final: f'(x) = 3x² + 2x

3. f(x) = (2x)(x³)

Paso 1: identificamos.

u(x) = 2x

v(x) = x³

Paso 2: derivamos.

u'(x) = 2

v'(x) = 3x²

Paso 3: aplicamos la regla.

f'(x) = 2·x³ + (2x)(3x²)

Paso 4: simplificamos.

f'(x) = 2x³ + 6x³ = 8x³

Resultado final: f'(x) = 8x³

📌 Ejercicios resueltos con cociente

Ahora aplicamos la regla del cociente con el mismo enfoque paso a paso.

4. f(x) = x² / x

Paso 1: identificamos.

u(x) = x²

v(x) = x

Paso 2: derivamos.

u'(x) = 2x

v'(x) = 1

Paso 3: aplicamos la regla.

f'(x) = (2x·x - x²·1) / x²

Paso 4: simplificamos arriba.

f'(x) = (2x² - x²)/x²

Paso 5: simplificamos todo.

f'(x) = x²/x² = 1

Resultado final: f'(x) = 1

5. f(x) = (x + 1) / x

Paso 1: identificamos.

u(x) = x + 1

v(x) = x

Paso 2: derivamos.

u'(x) = 1

v'(x) = 1

Paso 3: aplicamos la regla.

f'(x) = (1·x - (x + 1)·1)/x²

Paso 4: simplificamos el numerador.

f'(x) = (x - x - 1)/x²

Resultado final: f'(x) = -1/x²

6. f(x) = x³ / (x + 1)

Paso 1: identificamos.

u(x) = x³

v(x) = x + 1

Paso 2: derivamos.

u'(x) = 3x²

v'(x) = 1

Paso 3: aplicamos la regla.

f'(x) = [3x²(x + 1) - x³·1]/(x + 1)²

Paso 4: desarrollamos arriba.

3x³ + 3x² - x³ = 2x³ + 3x²

Resultado final: f'(x) = (2x³ + 3x²)/(x + 1)²

📝 Ejercicios para practicar

• f(x) = x(x + 2)
• f(x) = x²(x² + 1)
• f(x) = (3x)(x²)
• f(x) = (x + 2)/x
• f(x) = x²/(x + 3)

📌 Errores comunes

• Derivar solo una parte y olvidarse de la otra.
• Usar mal el signo menos en la regla del cociente.
• Olvidar elevar al cuadrado el denominador.
• No simplificar al final.

💡 Consejo final

La clave no es memorizar la regla de manera mecánica, sino practicarla con calma hasta que te salga natural.

Si identificás bien u, v, u' y v', la derivada se vuelve mucho más fácil.

❓ Preguntas frecuentes

¿Siempre conviene simplificar antes de derivar?

Cuando se puede, sí. A veces simplificar antes reduce mucho el trabajo.

¿Qué es lo más difícil del cociente?

Generalmente el signo menos del numerador y no olvidarse del denominador al cuadrado.

¿Producto y cociente son temas muy importantes?

Sí, muchísimo. Son dos reglas básicas que aparecen constantemente en cálculo.

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